Proposición 17

Enunciado

La unión de una colección de subespacios conexos de $X$ con algún punto en común es un subespacio conexo.

Demostración

Sea $\{Y_i{\}}_{i\in I}$ una colección de subespacios conexos de $(X,\mathcal{T})$ con cierto $x\in \bigcap _{i\in I}{Y}_i$. Definimos $Y=\bigcup _{i\in I}{Y}_i$ y suponemos que no es conexo, esto es, existe una separación $Y=U\cup V$ de $Y$. Aplicando la proposición 16, se tiene que cada $Y_i$ está contenido o bien en $U$ o bien en $V$; no obstante, si hubiera un $Y_i\subset U$ a la vez que otro $Y_j\subset V$, su intersección $Y_i\cap Y_j=\varnothing$, lo que contradice la hipótesis. Por tanto, se concluye que $Y$ es conexo.